IIR数字滤波器的Matlab和FPGA实现

 数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配，以及能够实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等特点，因此数字滤波器被广泛应用于图像处理和识别、语音处理和识别、通信、雷达、人工智能、核技术等多个领域。
    数字滤波器的实现方法很多，采用FPGA器件实现具有速度快、效率高、成本低、开发周期短等优点，而且还可以直接使用Altera公司提供的FIR／IIR IP core或采用LPM的设计方法进行设计，使数字滤波器设计变得简单、可靠。本系统通过一个实例说明如何通过Matlab设计并在FPGA器件上实现IIR椭圆函数滤波器。

1 IIR数字滤波器的Matlab设计
1．1 IIR数字滤波器设计要求
    本系统的设计指标如下：模拟信号采样频率为2 MHz，每周期最少采样20点，即模拟信号的通带边缘频率为fp=100 kHz，阻带边缘频率fs=200 kHz，通带波动Rp≤0．1 dB(通带误差不大于5％)，阻带衰减As≥42 dB。换算为数字域指标为：Wp=0．1π，Ws=0．2π，Rp=0．1 dB，As=42 dB。
1．2 IIR数字滤波器设计方案
    (1)根据设计要求确定滤波器数字域指标
    换算为数字域指标为：Wp=0．1π，Ws=0．2π，Rp=0．1 dB，As=42 dB。
    (2)采用Matlab软件设计滤波器系统函数
    IIR滤波器系统函数是采用计算机辅助工程CAE工具进行设计的。系统函数H(z)的计算采用Matlab软件设计比较方便，其中有两个现成的函数可以使用：ellipord(Wp／pi，Ws／pi，Rp，As)函数用来计算数字椭圆滤波器的阶次N和3 dB截止频率Wn；ellip(N，Rp，As，Wn)函数可以求得直接型椭圆IIR滤波器的各个系数。
    根据要求，设计采用Matlab软件实现IIR滤波器的源程序如下：
  
    利用Matlab软件可以得到如下结果：
   

    这是一个四阶IIR系统，通过Matlab计算出该系统的频率响应如图1所示，可见能满足设计要求。

    (3)确定滤波器网络结构
    本设计如果采用直接型结构实现，则需用的乘法器和延迟单元相对较多，而且分子和分母的系数相差较大，需要较多的二进制位数才能实现相应的精度要求。
    为了克服上述缺点，采用二阶级联实现。IIR滤波器采用级联型的网络结构既可以对各基本节的零点、极点方便地单独进行调整，又可以降低对二进制数位数的要求。
    这里采用Matlab中的“二阶部分传递函数”tf2sos()完成IIR滤波器直接型网络结构到级联型网络结构的转换。
    将IIR滤波器由直接型变为级联型的Matlab语言源程序如下：

    可以看出，每个二阶节的分子、分母系数差异减少了。值得注意的是，在分配二阶节的增益时，要保证每个节不会发生运算溢出，可以先用Matlab软件分析计算来合理安排各节的增益。经过计算，本文采用第一级分配0．162 6，第二级分配0．065 8，可以保证在要求的输入范围，没有数据溢出发生。
    (4)滤波器参数量化
    差分方程的量化后各系数如表1所示，这里采用10位定点纯小数补码表示。

2 IIR数字滤波器的FPGA实现
2．1 总体设计方案
    根据上述参数计算可知，需要设计的IIR滤波器为2个二阶节的系统级联形式，其二阶节系统函数的差分方程均为：
   
    可以看出，一个二阶节的实现，需要五次乘法运算、四次加法运算(采用二进制补码将减法运算变为加法运算)，两个二阶节共需要10次乘法运算，所有乘法运算均为无符号数的乘法运算，所以使用时需要先将两个补码乘数转换为无符号数相乘后，再将乘积转换为补码乘积输出，送入累加器求和。根据以上设计思想可知，一个二阶节系统均由控制模块、移位模块、求补模块、乘法模块和累加器模块等模块组成，其系统电路框图如图2所示。

    由于IIR滤波器的两个节系统电路结构完全相同，只是系数不同，故另一个二阶节的设计与此类似。
2．2 主要功能模块的设计
    控制模块主要用来产生对其他模块的时序控制。
    累加模块的功能是将10位×1位乘法器的5个输出数据在10个时钟周期内累加后，并将结果输出。
    移位模块主要完成数据交换功能，将输入数据送入输入寄存器x(n)中，同时将x(n)寄存器上一时刻的数据送入x(n-1)寄存器，同时又将x(n-1)寄存器上一时刻的数据送入x(n-2)寄存器。同理有y(n)→y(n-1)→y(n-2)。
    求补模块主要根据每路乘法器2个输入数据的补码，判断输入数据的正负，设置该路乘积结果正负标志位，并对输入的负数进行求补运算，保证乘积是在2个无符号数之间进行，再根据该路乘积结果正负标志位，对乘积结果进行求补运算，保证送入累加器的数据为补码。
    将设计好的各模块按照二阶节系统电路框图衔接，即可完成IIR滤波器其中一个二阶节系统的设计。只要修改差分方程的系数就可完成另一个二阶节系统的设计。
2．3 仿真结果
   各功能模块设计、调测完成之后，按照总体设计方案完成IIR滤波器的实现，并下载到Altera公司的EP1C6Q240C8器件上验证，QuartusⅡ中的仿真结果如图3所示。

    图3中：xn为输入信号，采用单极性方波周期信号；频率为100 kHz，在采样频率为2 MHz时，每个周期采样20个点，换算成数字域频率为0．1π；二次谐波的数字频率为0．2π；yn为滤波输出。观察仿真波形可知，所设计的IIR滤波器符合设计要求。为了更直观地观察IIR滤波器滤波后的输出结果，可将仿真波形文件转换为*．tbl文件，在Matlab中描绘波形。

3 结语
    数字滤波器的应用十分广泛，实现方法很多，运用Matlab语言，能很容易地设计出具有严格指标要求的数字滤波器。采用FPGA器件实现数字滤波器的方法，大大缩短了设计周期，降低了成本，提高了设计的可靠性、灵活性，为数字滤波器的设计与实现提供了一种有效的方法。