基于FPGA的FIR数字滤波器的优化设计
1 FIR滤波器的基本原理
一个L阶的FIR数字滤波器的基本系统函数见式(1)：
式中：h(n)表示滤波器的系数；x(i)表示带有时间延迟的输入序列，此表达式对应的直接型实现结构可用图1来表示。
可以看出，FIR滤波器是由一个“抽头延迟线”加法器和乘法器的集合构成的。传给每个乘法器的操作数就是一个FIR系数。对每次采样x(n)要进行N次连续的乘法和(N-1)次加法操作，因实际中滤波器的阶数都很高，实现高数据吞吐率就需要很多的硬件乘法器，硬件实现时将占用大量的资源，同时也会因此影响滤波器的速度和性能。为了解决这个问题，人们从多个角度寻求优化方法。从数字滤波器表达式看，对它
的优化操作，实际最终转换成两类改进。一类是针对输入xi的DA操作的改进；另一类是针对系数hi编码的操作。
2 DA算法
分布式算法(Distributed Arithmetic，DA)是为了解决乘法资源问题而提出的经典优化算法这种算法结构，可以有效地将乘法运算转换成基于查找表LUT(Look Up Table)的加法运算，利用查表方法快速得到部分积。
对于低阶而言，由于LUT表地址空间较小，与传统算法相比，分布式算法可极大地减少硬件电路的规模，提高电路的执行速度。然而当FIR滤波器阶数很高时，作为查找表的ROM将很大。阶数每增加1位，ROM容量就增加1倍，这种以2的幂次递增的资源占用是硬件资源不可接受的。因而在滤波器系数较高时，为了减小查找表的规模，常采用一定的方法将大LUT分割为一些小的LUT的方法。如滤波器的多相分解结构、多路复用器和加法器替代查找表的算法等。
3 CSD编码算法
常数乘法可以通过“移位-加”来完成，而乘数中“1”的个数决定了“加”操作的次数，当然“1”的个数越少越好，正则有符号数字量CSD(Canonic Signed Digit)编码就可以实现“1”的个数的最小化。
3．1 CSD编码
与传统的二进制编码的二值表示法不同，CSD编码的数字值域为0，1和-1。-1常表示成1。这种编码是具有最少非零元素的一种表示法，用CSD编码表示数字的形式具有惟一性。在实际硬件电路中可以采用如下原则生成最佳CSD编码：
①从最低有效位开始，用10…0 
取代所有大于2的1序列，此外还需要用110 取代1011；
②从最高有效位开始，用011代替10 。
最佳CSD编码的特点是：
①在一个CSD数据里，没有两个连续的非零位；
②对同一个数字的CSD编码是独一无二的；
基于CSD编码，可以将式(1)做以下的变化：
从以上式子可看出，应用CSD表示法，由于可以降低系数中非零元素的数量，因而在运算中能减少加法的次数，有利于提高运算速度和减少资源的占用。
3．2 最佳CSD编码设计与结果
根据前面所列举的最佳CSD编码方法，用C语言生成最佳CSD编码，部分伪代码如下：
③是数字表示法里，所含非零位数最少，相比于二进制补码系统平均减少33％的非零项。
测试实验数据及结果如图2所示。在本C语言程序中用X来指代码，输入数据为16位。
4 实例设计过程与仿真
4．1 FIR系数提取
利用Matlab中Fdatlool设计一个16阶低通FIR滤波器，各项性能指标为：采用频率fs=48 kHz，截止频率fstop=12 kHz，通带宽度fpass=9．6 kHz。系数数据宽度为16位；输出数据宽度是16位。为了便于FIR滤波器的FPGA实现，减小误差，将Fdatlool提取的滤波器的系数量化取整后为：
4．2 系数的CSD转换
读入量化系数，进行CSD转换操作，生成CSD码，表1是部分量化后的系数及对应的CSD数。
4．3 FIR滤波器实现结构
采用转置形式的FIR滤波器结构，此结构和直接型结构不同的是，输入信号X[n]是同时分别和滤波器系数向量相乘，不需要通过不同的延时单元再和相对应的滤波器系数相乘。这种结构最大的优点是工作频率较高，图3给出了采用CSD编码算法的设计流程图。
4．4 FPGA实现与仿真
参照图3中给出的设计流程，使用VHDL语言实现了该常系数滤波器的行为描述，图4是滤波器的实现顶层图。FPGA采用AItera公司的EPF 10K40芯片，该芯片最高的单路运行速率为200 MHz。图5是在Max+PIusⅡ中的仿真结果。表2给出了EPF10K40的一些资源占用情况。
5 基于FPGA的FIR试验结果
为验证本文提出的算法的普遍性，以并行DA和2C编码方式设计了一系列阶数从16到256阶的FIR滤波器，滤波器在Altera公司的开发软件Max+PlusⅡ中进行编译和布局布线，采用的目标器件为EPF10K40芯片，在系统中对3种实现结构进行测试，测试数据位宽为8位。通过表3的比较结果可以看出，使用CSD编码，资源耗用明显下降。当FIR阶数很高，系数很复杂时，CSD编码的优势会更加显著。表4给出了N=64时DA算法和CSD算法的具体性能指标，从结果来看，CSD编码相对于单纯的DA在系统资源和整个系统延迟上有明显的提高。
6 结语
滤波器用VHDL硬件描述语言实现，采用Altera公司的EPF10K40芯片，在Max+PlusⅡ中进行了仿真验证。从结果来看，文中所提出的CSD编码算法，具有一定的研究价值和实用价值，CSD编码在处理序列较多的情况下，在资源占用、速度处理方面的效果尤为明显。采用CSD编码方式对FIR滤波器进行优化设计，可减少FIR实现的FPGA资源消耗。